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Álgebra de Boole

Definición

l álgebra de Boole es un conjunto de elementos relacionados por dos operaciones binarias a las que notaremos con los signos + y - que verifican los siguientes postulados:

1. Las operaciones son conmutativas, es decir si a y b son elementos del álgebra:

a + b = b + a y a . b = b . a

2. Las operaciones + y . tienen elementos neutros, a los que denominaremos 0 y 1 respectivamente. Es decir, si a es un elemento del álgebra:

a + 0 = a

a . 1 = a

3. Cada operación es distributiva respecto de la otra. Es decir, si a, b, c, son elementos del álgebra:

a . (b + c) = a . b + a . c

a + (b . c) = (a + b) . (a + c)

4. Para cada elemento a del álgebra existe otro elemento, al que

denominaremos , tal que se verifica:

a + = 1

a . = 0

Existen distintos ejemplos de conjuntos que son álgebras de Boole, de los que citaremos algunos a lo largo del tema, como el conjunto de las partes de un conjunto con las operaciones de unión () e intersección ().

A nosotros nos interesarán los denominados álgebras de Boole binarios, que constan de elementos que toman sólo dos valores: 0 ó 1, cuyas operaciones + y - se definen de la forma:

Para la operación +, o suma binaria:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Para la operación ., o multiplicación binaria:

0 . 0 = 0

0 . 1 = 1 . 0 = 0

1 . 1 = 1

Y además:

= 1

= 0

O expresadas tabularmente en forma de tablas de verdad:

Ejemplos de álgebras de Boole binarias son las que se tratan a continuación en las páginas siguientes.

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