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Órbitas, niveles de energía y espectros

l modelo de Bohr fue desarrollado esencialmente para el átomo más sencillo, el de hidrógeno, que consta de un protón y un solo electrón. Sobre la base de sus postulados es posible determinar el radio de las órbitas permitidas, deducir la expresión de la energía que posee el electrón en ellas y explicar la fórmula de Rydberg de los espectros de líneas.

De acuerdo con el tercer postulado, el movimiento del electrón en una órbita definida debe ser explicado según la física clásica. Así la fuerza de atracción electrostática que el protón ejerce sobre el electrón curvará su trayectoria, dando lugar a una aceleración normal an o centrípeta que, en virtud de la segunda ley de Newton, estará relacionada con la magnitud de la fuerza en la forma:

(16.6)

siendo me la masa del electrón, v su velocidad y r el radio de la órbita. Por otra parte, la fuerza electrostática Fe entre protón y electrón cumplirá la ley de Coulomb:

(16.7)

siendo e la carga del electrón, que coincide en magnitud con la del protón. Igualando ambas expresiones de Fe resulta:

(16.8)

El cuarto postulado establece la relación de cuantificación:

(16.9)

Combinando las dos ecuaciones anteriores se tiene finalmente:

(16.10)

que puede escribirse como:

r = ao n²
(16.11)

siendo ao una constante.

La anterior ecuación indica claramente que el radio de las órbitas electrónicas en el átomo de Bohr está cuantizado, variando a saltos según la proporción 1, 4, 9, 16, 25, etc. La constante ao corresponde al radio de la primera órbita de Bohr (para n = 1 r = ao) y su cálculo a partir de las otras diferentes constantes conocidas da un resultado de 5,29 · 10-¹¹ m.

Siguiendo razonamientos semejantes, es posible determinar la energía asociada a cada órbita que resulta ser:

(16.12)

ecuación que refleja nuevamente la idea de cuantificación.

La energía del electrón varía de una forma discontinua. Cada valor En define un nivel o estado energético del electrón. El nivel E1, correspondiente al primer valor del número cuántico n, recibe el nombre de nivel o estado fundamental y los sucesivos E2, E3... se denominan estados excitados. El nivel fundamental corresponde al estado de mínima energía. A medida que crece n, decrece su valor absoluto En, pero debido a su carácter negativo, su valor real aumenta, de ahí que los estados excitados correspondan a niveles energéticos superiores.

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