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La explicación dinámica de la tercera ley de Kepler

as tres leyes de Kepler pueden ser deducidas de la ley de la gravitación universal cuando se analiza el movimiento de los planetas según los procedimientos de la dinámica de Newton.

La demostración de la tercera ley puede simplificarse si se acepta la aproximación consistente en considerar circulares las órbitas. En tal caso, el movimiento de uno cualquiera de los planetas sería circular y uniforme. Curvar la trayectoria de un modo constante equivale a dotarle de una aceleración centrípeta, es decir, una aceleración relacionada con el cambio en dirección del vector velocidad cuyo valor será:

siendo v la velocidad del planeta en su órbita circular y R el radio de ésta.

De acuerdo con la segunda ley de Newton una fuerza Fc será la responsable de tal aceleración, es decir:

Fc = mp · ac

donde mp representa la masa del cuerpo en órbita. Si se acepta que esta fuerza responsable de tal aceleración es precisamente la fuerza gravitatoria Fg, se tendrá:

Fg = Fc

Pero la fuerza Fg viene dada por la ley de la gravitación universal, es decir,

siendo Ms la masa del Sol.

Por su parte, la tuerza Fc necesaria para curvar la trayectoria del planeta es:

de modo que, igualando ambas expresiones, resulta:

y reordenando los términos se tiene:

G · Ms = R · v2

El periodo de revolución T es el tiempo que emplea el satélite en dar una vuelta completa, es decir, en recorrer un espacio igual a 2pR; por tanto, la velocidad orbital constante v, dada por el cociente entre ambos, será:

Sustituyendo tal valor de v en la ecuación anterior resulta:

es decir:

en donde G, Ms y 4p2 son constantes, de modo que

o dicho en otros términos, el cuadrado del periodo de revolución T de un planeta es proporcional al cubo del radio de su órbita, equivalente en la aproximación aceptada al semieje mayor de la órbita elíptica:

Este enunciado constituye precisamente la tercera ley de Kepler, la cual ha sido deducida, y por tanto explicada, combinando la dinámica y la gravitación newtonianas.

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