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Movimientos de cuerpos suspendidos: la máquina de Atwood

l estudio dinámico del movimiento de un cuerpo se puede extender al de un sistema de varios cuerpos si en la segunda ley se considera Fcomo la resultante de las fuerzas exteriores que actúan sobre el sistema. La máquina de Atwood

(1746-1807) inventada por este físico inglés en el siglo XVIII, constituye un ejemplo de tal generalización. Consiste en dos cuerpos de masas m1 y m2 unidos por una cuerda y suspendidos, mediante ella, de una polea de masa despreciable.

La aplicación de la ecuación fundamental de la dinámica permite predecir cuáles serán las características del movimiento del sistema en su conjunto. En efecto,

Fext = M · a

donde Fext representa la suma vectorial de las fuerzas exteriores -que en este caso son los pesos P1 y P2 de los respectivos cuerpos- y M la masa total del sistema.

Si se acepta que la masa del cuerpo 2 es mayor que la del 1, la anterior ecuación se puede escribir en la forma:

P2 - P1 = (m1 + m2)a

es decir:

m2 g - m1 g = (m1 + m2)a

y finalmente

El movimiento predicho es, pues, uniformemente acelerado, ya que m1 m2 y g son constantes. Si m2 fuera el doble de m1 la aceleración a sería

si fuera el triple entonces:

etcétera. Lo que indica que cuanto mayor sea el cociente entre m2 y m1 mayor es la aceleración.

De una forma semejante y variando la relación entre las masas, Atwood midió la aceleración de caída comprobando que dentro del error experimental coincidía con los valores predichos por la segunda ley de Newton.

La segunda ley, junto con sus correspondientes reglas de aplicación, puede utilizarse también para calcular la fuerza que soporta la cuerda y que se denomina tensión. Su magnitud puede medirse intercalando sendos dinamómetros. La comparación entre el valor calculado mediante la aplicación de la segunda ley y el medido permitirá poner a prueba, de nuevo, la validez de aquélla.

Para determinar la tensión de la cuerda en A se aísla el cuerpo 1; la fuerza que tira de él hacia arriba (compensando con creces la fuerza del peso P1) es la tensión TA, de modo que la resultante será, en este caso, TA - P1. De acuerdo con la segunda ley, aplicada a este cuerpo aisladamente considerado, se tendrá:

TA - P1 = m1 · a

luego:

TA = P1 + m1 a = m1 g + m1 a

es decir:

TA = m1 (g + a)

Procediendo de una forma análoga en el punto B resulta:

P2 - TB = m2 a

TB = P2 - m2 a = m2 g - m2 a

TB = m2 (g - a)

El hecho de que los dos cuerpos estén unidos por la cuerda hace que la aceleración a sea la misma para ambos. Cuando se sustituye en cualquiera de estas ecuaciones el valor de a resulta que las tensiones TA y TB a uno y otro lado de la polea son iguales.

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